El número áureo

φ es un número irracional y algebraico, y esta plagado de curiosidades.

Empezamos con su valor:

\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx                 1.618033988749894848204586834365638117720309  ...

Se le conoce como la razón áurea, media y extrema razón, número de oro, phi…

Se denota como φ por ser la primera letra de Fidias, escultor griego que tuvo esta constante muy en cuenta.

Los nombres de que contienen “razón” son por su forma de calculo en la antigüedad:

\frac{a + b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi

Es el primer número metalico, que son los que cumplen las ecuaciones:

 

Su fracción continua es: [1,1,1…] o:

1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{\ddots}}}}

Es el único número real positivo de manera que:

\varphi^2 = \varphi + 1\

Y tambien es curioso que:

\varphi - 1 = \frac{1}{\varphi} \

y que:

\varphi^3 = \frac {\varphi + 1} {{\varphi - 1}} \

Es ta íntimamente relacionada con la Sucesión de Fibonacci pues se tiene que:

Pues si tenemos al n-esimo termino Fn, y al siguiente número de Fibonacci, como Fn + 1,

Tenemos que:

\varphi = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + ...}}}} = \lim_{n \to \infty}\frac{F_{n +1}}{F_n} = \phi

Espero que les haya gustado.

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